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Département de Mathématiques

Articles publiés

• G. Berck, A. Bernig et C. Vernicos, Volume entropy of Hilbert geometries. Pacific J. Math. 245 (2010), no. 2, 201-225
  
  Les géométries de Hilbert sont des exemples de métriques de Finsler définies sur l'intérieur d'un corps convexe pour lesquelles les droites sont des géodésiques. Dans le cas d'un ellipsoïde, on retrouve le modèle de Klein de l'espace hyperbolique. Nous nous intéressons à l'entropie volumique de ces géométries et montrons qu'en dimension deux, elle est maximale dans le cas hyperbolique. Nous montrons aussi que le comportement asymptotique du volume des boules métriques est contrôlé par un invariant projectif du convexe initial semblable à l'aire centro-affine, invariant que nous introduisons dans ce papier. En dimension supérieure, nous obtenons le même résultat sous l'hypothèse supplémentaire que la courbure du bord du convexe soit uniformément bornée.
  
  
• G. Berck, Convexity of L_p-intersection bodies. Adv. Math. 222 (2009), no. 3, 920-936
  
  La famille des corps d'intersection Lp d'un corps convex centré est un concept important en géométrie convexe, en particulier il joue un rôle crucial dans la théorie des valuations à valeurs dans les corps centrés. A normalisation près, ces corps coïncident avec les polaires des p-centroides utilisés notamment par Lutwak et Zhang pour prouver de nouvelles inégalités isopérimétriques en géométrie affine.
  Il était connu que ces corps sont convexes pour p>1, et pour p= -1, ce dernier cas jouant un rôle essentiel dans la théorie des aires de Busemann. On donne dans ce papier une preuve unifiée de la convexité de ces corps et ce pour tout le domaine -1 < p < infini. Le coeur géométrique de la preuve est une extension aux moments du convexe du théorème de Brunn, tandis que les distributions sont utilisées pour unifier les cas a priori différents.
  
  
• G. Berck, Minimality of totally geodesic submanifolds in Finsler geometry. Math. Annalen 343 (2009), no. 4, 955--973
  
  Utilisant la définition symplectique de l'aire de Holmes-Thompson, on montre que les sous-variétés totalement géodésiques d'une variété de Finsler sont minimales pour cette aire. Ce résultat n'était connu précédemment que pour les hypersurfaces et les surfaces de dimension deux.
  
  
• J.C. Álvarez et G. Berck, What's wrong with the Hausdorff measure in Finsler spaces. Adv. Math. 204 (2006), no. 2, 647--663
  
  Nous construisons une famille de métriques de Finsler sur l'espace tri-dimensionnel dont les géodésiques sont les droites mais pour lesquelles les plans, nécessairement totalement géodésiques, ne sont pas des surfaces minimales pour la mesure de Hausdorff. En conséquence, il n'existe pas de formules de générale de géométrie intégrale pour cette notion d'aire sur les variétés de Finsler. Par contre, nous démontrons une formule de Crofton pour l'aire de Holmes-Thompson et montrons que les hypersurfaces totalement géodésiques sont minimales pour cette aire.
  
  

Pré-publications

• J.C. Álvarez, J.C. et G. Berck, Finsler surfaces with prescribed geodesics.

Notes

• G. Berck, Isoperimetrix and floating bodies.
  
  Dans cette courte note, nous montrons que à normalisation près l'isopérimétrique de l'aire de Busemann est la limite des corps flottants de la boule unité. C'est relativement direct et n'est pas destiné à être publié. Pour une question de goût, tout est présenté intrinsèquement, sans référence à une structure euclidienne.

Parcours professionel

• Octobre 2007- : Postdoctorant à l'université de Fribourg
• Octobre 2006-Septembre 2007: Postdoctorant au Centro de Giorgi, Scuola Normale Superiore, Pisa
• Juillet 2006-Août 2006: Postdoctorant à l'université de Fribourg
• Octobre 2005-Mai 2006: Postdoctorant à l'université de Neuchâtel
• Septembre 1998-Juillet 2005: Assistant à l' Université Catholique de Louvain

Cursus universitaire

• Décembre 2004: Thèse de doctorat à l'UCL, Minimalité des sous-variétés totalement géodésiques en géométrie de Finsler. Directeurs de thèse: Juan Carlos Álvarez Paiva et Pascal Lambrechts.
• Juin 1999: Diplôme d'études approfondies à l'UCL, Connexions principales et problèmes d'équivalence, dirigé par Juan Carlos Álvarez Paiva.
• Juin 1998: Mémoire de fin d'études à l'UCL, Invariants de Vassiliev et représentation intégrale, dirigé par Juan Carlos Álvarez Paiva.

Enseignement

• Fribourg
  • Encadrement du Séminaire libre: Combinatoire des Polytopes
  • Encadrement du Séminaire thématique: Classes caractéristiques
  • Classes d'exercices de mathématiques générales pour futur enseignants.
  • Classes d'exercices d'Analyse3: Analyse vectorielle, Analyse complexe. (2^ème année math)
  • Classes d'exercices d'Analyse4: Analyse complexe, Distributions. (2^ème année math)
• UCL: Encadrement des classes d'exercices des cours suivants (env. 10h/sem):
  • MATH1126: Géométrie affine et euclidienne, géométrie différentielle des courbes et surfaces. (1^ère année math)
  • MATH2480: Introduction à la géométrie différentielle, variétés, champs de vecteurs, formes différentielles, plongements, ... (3^ème année math)
  • MATH1160A-B: Analyse réelle à une et deux variables, algèbre linéaire. (1^ère année sciences naturelles)
  • FSA1304: Analyse complexe à une variable. (1^ère année ingénieur civil)
  • Math1-2: Analyse réelle à une variable, algèbre linéaire. (1^ère année ingénieur commercial)
  • Math3: Analyse réelle à plusieurs variables. (2^ème année ingénieur commercial)
  • SESP1171: Analyse réelle à une variable. (1^ère année sciences économiques)

Divers

Organisateur avec E. Fernandes des deux éditions du Concours Galileo à l'UCL, un concours de mathématiques sur internet destiné aux lycéens. Il y a eu une centaine de participants environ à chaque édition.

Conférence

Organisateur avec Andreas Bernig de la conférence Integral & Finsler geometry qui s'est déroulée à Fribourg du 21 au 23 Janvier 2009.

Groupe de travail

Organisateur du groupe de travail sur le problème de Busemann-Petty. Une liste commentée de références est disponible ici. Des notes sont en cours de préparation.

Povray

L'image de fond d'écran de cette page tout comme celle de l'affiche de notre conférence à Fribourg a été réalisée avec le logiciel gratuit Povray. On trouvera une quantité impressionante d'exemples et d'explications sur les possibilités de ce programme sur le site de Lohmüller.

Vous pouvez téléchargez les codes sources de ces images en cliquant sur les liens suivants: page web et affiche, ou simplement les images elles même, fond d'écran et affiche (2,5 Mo).

Dictionnaire

Un très pratique dictionnaire Français-Anglais sur internet: ici.